Questão Desafio: Matemática (Prof. Guilherme Pinho) – 27/09/2015

Como sou muito ansioso, sempre que faço uma prova de concurso, acontece o seguinte: passado o primeiro minuto, cada novo minuto parece passar duas vezes mais rápido que o anterior. Ao final de uma prova de duas horas de duração, quantos minutos, aproximadamente, parecerão ter passado?

a) 2

b) 16

c) 64

d) 240

e) 512

Comentário Prof. Guilherme Pinho:

E ai pessoal… preparados para saber a resposta do desafio sobre o nosso ansioso amigo concurseiro??!

Ha?? Como?? Mais ansiosos para saber a resposta do que ele até…

Hahaha

Opa… vamos lá então!!

Eu sou o Professor Guilherme Pinho e abaixo seguem os comentários.

Bom, esta questão possui duas formas de resolução.

Independente de qual das formas de resolução for adotada, o ponto chave para o entendimento desta questão seria a seguinte parte do enunciado:

“…passado o primeiro minuto, cada novo minuto parece passar duas vezes mais rápido que o anterior.”

Pela passagem acima citar as palavras “duas vezes”, alguns alunos podem achar que a situação apresentada seria a seguinte:

Imagem 1 gui

Se assim fosse, teríamos:

imagem 2 gui
Apesar de ser um raciocínio possível, este seria o CAMINHO ERRADO A TOMAR. Vejamos o porquê.

Ao observarmos mais atentamente a tabela acima, podemos perceber que, se ela for escrita dessa forma, então estaríamos dizendo que cada minuto pareceria estar demorando cada vez mais para passar; ou seja, estaria passando cada vez mais devagar.

Para a correta resolução do problema, o primeiro ponto que o aluno deveria entender seria o fato de que por “cada novo minuto parecer passar duas vezes mais rápido, isto indica que, para o concurseiro do enunciado, cada novo minuto representaria apenas “metade” do minuto anterior.

Ou seja:

imagem 3 gui

Portanto, a tabela estaria corretamente representada por:

imagem 4 gui

A primeira forma seria um pouco mais pela lógica.Entendido isto, voltemos então às duas formas de resolução.

Vamos entendê-la então.

Ao olhar os números que se apresentam na segunda linha da tabela anterior, o aluno notaria que os minutos decorridos, segundo a impressão do concurseiro, estão se tornando cada vez mais curtos (menores). Se reescrevermos eles na forma decimal, teríamos:

imagem 5 gui

Lembrando o que a questão nos pergunta:

Quantos minutos, APROXIMADAMENTE, parecerão ter passado?

Para acharmos a resposta, devemos somar todas as colunas da segunda linha desta última tabela (fica mais fácil e didático somar números decimais). Sendo assim, observem a lógica por trás da soma e como ela evolui:

Soma da primeira coluna = 1

Soma das 2 primeiras colunas = 1+0,5 = 1,5

Soma das 3 primeiras colunas = 1+0,5+0,25 = 1,75

Soma das 4 primeiras colunas = 1+0,5+0,25+0,125 = 1,875

Soma das 5 primeiras colunas = 1+0,5+0,25+0,125+0,0625 = 1,9375

.

.

.

Mesmo que continuemos somando os próximos números que viriam, pelo fato de eles sempre ficarem cada vez menores, o incremento também seria cada vez menor. Dessa forma, notem que: quanto mais somamos, mais próximos ficamos do número 2 e, pelo motivo comentado na sentença anterior, nunca conseguiremos passar dele!!!!

Portanto, percebendo este padrão (esta lógica) chegamos à conclusão que:

imagem 6 gui

A segunda forma seria um pouco mais matemática.

Para a resolução por esta segunda maneira, precisaríamos dos artifícios e conhecimentos a respeito de “Progressões Geométricas”. Isso mesmo, a famosa “P.G.”.

– Mas Professor, P.G.? De onde o Sr. tirou essa ideia??!

Calma… vamos juntos que a partir de agora veremos como identificar a P.G. do nosso problema.

Para início de conversa, vamos trazer uma das tabelas apresentadas anteriormente. Segue abaixo:

imagem 7 gui

Como já comentado, a ideia por trás da montagem dessa tabela foi que:

imagem 8 gui

Ou seja, cada termo, a partir do primeiro, foi obtido pegando o termo anterior e multiplicando por  . A progressão na qual conseguimos obter cada novo termo através da operação de multiplicação é a Progressão Geométrica.

Sendo assim, os termos da nossa progressão poderiam ser expressos, por meio de um conjunto, da seguinte forma:

imagem 9 gui

Do conjunto acima, obtemos os seguintes dados:

Primeiro termo (a1) = 1

Razão (q) =

Lembrando o que a questão nos pergunta:

Quantos minutos, APROXIMADAMENTE, parecerão ter passado?

Para acharmos a resposta, devemos somar todos os termos do conjunto acima. Sendo assim, trabalharemos com uma soma de PG. Porém, o conjunto acima tem uma característica particular, a qual deve ser observada. A razão encontra-se no intervalo abaixo:

imagem 10 gui

Quando isso acontece, temos uma P.G. formada por INFINITOS termos. Dessa forma, o que teríamos de calcular seria, então, a soma dos infinitos termos de uma P.G.; ou seja, a “SOMA DE UMA P.G. INFINITA”.

Para essa situação particular, precisaríamos da fórmula abaixo:

imagem 11 gui

Por fim, substituindo os dados obtidos anteriormente, teremos:

imagem 12 gui

imagem 13 gui

Conclui-se, então, que o gabarito correto para a questão seria a letra (A).

Ufa!!!

Enfim acabamos…!

🙂

Com certeza a segunda forma de resolução, por exigir conhecimentos mais avançados a respeito das progressões, seria de mais difícil visualização.

Para aqueles que acertaram, independente de qual das formas de resolução usaram, ficam aqui meus parabéns!!

Caso você não tenha obtido o gabarito correto, fique tranquilo. Esta questão exige um raciocínio mais elaborado. Continue se esforçando e tenho certeza que você chegará lá!! Lembre-se sempre que a matemática é uma matéria na qual nosso êxito é tanto maior quanto mais treinarmos. 🙂

Desejo a todos bons estudos!

Grande abraço e até a próxima,

Professor Guilherme Pinho

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